A · Función real de variable real
Definición:
Sea `A in RR`, la correspondencia `f:A -> RR` es una función si
a cada `x in A` le asigna una única imagen `f(x) in RR`
Se llama dominio: `Dom(f)={x in A // sf"existe" f(x)}={x in A // f(x) in RR}`
Se llama imagen: `Im(f)={y in RR // y=f(x) sf"para algún" x in A}`
Propiedades de monotonía:
Sea `f:A -> RR` una función real de variable real. Sea `B sub A`
- La función `f` es creciente en `B` si
`x_1<x_2 => f(x_1)<=f(x_2), AA x_1,x_2 in B` - La función `f` es estrictamente creciente en `B` si
`x_1<x_2 => f(x_1)<f(x_2), AA x_1,x_2 in B` - La función `f` es decreciente en `B` si
`x_1<x_2 => f(x_1)>=f(x_2), AA x_1,x_2 in B` - La función `f` es estrictamente decreciente en `B` si
`x_1<x_2 => f(x_1)>f(x_2), AA x_1,x_2 in B`
Se dice que `f` es inyectiva si: `x_1 != x_2 => f(x_1) != f(x_2)`
Simetrías:
Una función puede ser par, impar o ninguna de éstas.
- Se dice que una función `f` es par si `f(-x)=f(x), AAx in Dom(f)`
(son simétricas respecto del eje `y`). Ej. `f(x)=x^2` - Se dice que una función `f` es impar si `f(-x)=-f(x), AAx in Dom(f)`
(son simétricas respecto del origen). Ej. `f(x)=x^3`
Periodicidad:
Sea `f:RR -> RR`. Se dice que `f` es periódica, con periodo T, si
`f(x)=f(x+T), AAx in RR`
Ejemplo típico de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Si un función es periódica de periodo T, será suficiente con representarla en `[0,T]`, ya que el resto de la función se repite.
Composición:
Sean `f:A sub RR -> RR` y `g:B sub RR -> RR,` con `Im(f) sub B`.
La función compuesta `g@f` que se lee "`f compuesta con g`" es la función
`g @ f: A sub RR -> RR`
`x in A -> (g @ f)(x) = g(f(x))`
Función inversa:
Sea `f:A sub RR -> RR` una función inyectiva.
Existe una única función `h: Im(f) -> RR` tal que `h(f(x))=x, AA x in A`
Esta función se denomina fución inversa de `f` y se suele escribir así: `f^{-1}`
Normalmente para calcular una función inversa se despeja `x` en función de `y` y se intercambian los papeles.
Valor absoluto:
Si `x` es un número real, se define su valor absoluto como sigue:
Sea `x in RR, |x| = { (+x,si x>=0), (-x,si x<0) :}`
Propiedades:
- `|x|>=0` para todo `x in RR`. Además, `|x|=0 <=> x=0`
- `|x+y|<=|x|+|y|` para cualquier `x,y in RR`
- `|xy|=|x|·|y|`
- `Si N>0, |x|<=N <=> -N<=x<=+N`