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G · Estudio de las Funciones polinómicas de 2º [Construcción]

En esta construcción se estudia la función cuadrática.

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, de la forma `f(x)=ax^2+bx+c` .
con  `a, b  y  c`  números reales y  `a!=0`.

Como se puede observar en la construcción, su gráfica es una curva denominada parábola. Ésta la podemos construir localizando los siguientes puntos:

  • El vértice es  `V(m,n)`,  que calculamos mediante las expresiones  `m=-b/{2a}`  ;  `n={4ac-b^2}/{4a}`
    conocido el vértice, podemos escribir la función de la forma:  `f(x)=a(x-m)^2+n`
  • Si es posible resolver en  `RR`  la ecuación  `ax^2+bx+c=0` , a los valores encontrados se les llaman ceros de la función. En éste caso, a lo sumo, existen dos que designamos por  `x_1`  y  `x_2`. Las distintas posibilidades son:
    • Dos puntos de corte si  `b^2-4ac > 0`: `(x_1,0)` y `(x_2,0)`  `->  f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)`
    • Un punto de corte si  `b^2-4ac = 0`: `(x_1,0)`  `->  f(x)=a(x-x_1)^2`
    • Níngún punto de corte si  `b^2-4ac < 0`
  • Gráficamente,  `x_1`  y  `x_2`  son las abscisas de los puntos en los que la parábola corta al eje X (eje de abscisas), en el caso de que existan.
  • Punto de corte con el eje Y (eje de ordenadas): lo podemos obtener calculando el valor  `f(0)`  resultando el punto `(0,c)`
  • El eje de simetría es la recta vertical que pasa por la abscisa del vértice, es decir:  `x=-b/{2a}`

La forma de las parábolas depende únicamente del valor de `a` .

  • Si `a>0` las ramas van hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función, antes de éste decrece y después de él crece.
  • Si `a<0`, entonces irán hacia abajo y el vértice será el máximo de la función, antes de éste crece y después de él decrece.
  • Cuanto mayor sea `|a|` (en valor absoluto) más estrecha será la parábola, y viceversa.

El dominio de una función cuadrática es `Domf=RR`, como ocurre con el resto de funciones polinómicas. Mientras que el recorrido o rango será a partir de la ordenada del vértice hasta infinito si éste es un mínimo o al contrario si es un máximo.

Todas éstas características se puenden observar en la siguiente construcción dinámica creada con "Geogebra", para distintas funciones cuadráticas.

En la siguiente construcción, realizada con geogebra, podemos estudiar:

  • Distintas funciones cuadráticas variando los deslizadores `x_1` y `x_2`
  • Cambiar la dirección de las ramas moviendo el deslizador "signo"
  • Comprobar el vértice y el eje de simetría
  • Visualizar los puntos de corte con los ejes
  • Contraer o dilatar la función mediante el deslizador "|a|"
  • Dibujar la función lentamente con el deslizador "Dibujar" y pulsando "play"
  • Si no nos interesa la tabla de puntos la podemos ocultar

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