G · Estudio de funciones homográficas [Construcción]

Publicado en 02.- Funciones

La forma de una función racional es una expresión racional del tipo: `f(x)={p(x)}/{q(x)}` siendo `p(x)` y `q(x)` dos polinomios tales que `q(x)` es de grado mayor o igual que 1 y `q(x)!=0`.

Ejemplo de función racional: `f:RR-{-2,2} -> RR // f(x)={x^3 -2x^2+7}/{x^2-4}`

Casos particulares de funciones racionales:

Cuando el numerador y el denominador tienen raíces comunes, pueden factorizarse y simplificarse, obteniendo una expresión más sencilla. Sin embargo, el dominio de la función sigue siendo el de la función dada.
por ejemplo: `f: RR - {3} -> RR // f(x)={x^2-9}/{x-3}={(x+3)(x-3)}/{(x-3)}=x+3`. Esta función tiene por gráfica una recta excluido el punto `(3,6)`
FUNCIÓN HOMOGRÁFICA: es un tipo de función racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de primer grado.

Su expresión analítica es: `f(x)=(ax+b)/(cx+d)` o realizando la división euclídea `f(x)=k/(x+m)+n` (forma canónica).
cuando `AA a,b,c,d in RR` y además `c!=0` (sino sería una función afín) y `ad!=bc` (sino se trataría de una función constante).
Gráfica: su representación gráfica, en un sistema de coordenadas rectangulares, es una curva llamada hipérbola, compuesta de dos ramas simétricas respecto del punto de intersección de las dos asíntotas.
Las dos ramas de la hipérbola se sitúan en el primer y tercer cuadrante de las asíntotas si `k>0`; o en el segundo y cuarto cuadrante, si `k<0`.
Asíntota Vertical: en general, diremos que la recta de ecuación `x=-d/c` es una asíntota vertical de `f` cuando al tomar valores de `x` cada vez más cercanos a `-d/c`, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son cada vez mayores (en valor absoluto).
Asíntota Horizontal: en general, diremos que la recta de ecuación `y=a/c` es una asíntota horizontal de `f` cuando al tomar valores de `x` cada vez mayores/pequeños `(+- oo)` el valor de la función se acerca a `a/c`, tanto por arriba como por abajo.
Dominio y rango: `Dom f = RR - {AV}` ; `Im f = RR - {AH}`
Puntos de corte con los ejes: eje-X: `f(x)=0` ; eje-Y: `f(0)`
Simetría: respecto del centro de la Hipérbola (intersección de las asíntotas)
Monotonía: siempre Creciente o decreciente por intervalos
Discontinuidad: en `x=-d/c`
Signo: positiva en `f(x)>0` ; negativa en `f(x)<0`

En la siguiente construcción, realizada con geogebra, podemos:

Variar los valores de `k` , `m`, y `n`

Mostrar la tabla de valores, comenzando por `x_1`

Mostrar puntos simétricos de `P` , `Q` y `B` (éste puede moverse)

Mostrar las coordenadas de los puntos sobre la gráfica

Localizar los puntos de corte con los ejes

El centro de simetría O

Visualizar los intervalos donde `f` es creciente o decreciente

Modificar el intervalo de definición moviendo las flechas naranjas