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G · Estudio de funciones homográficas [Construcción]

La forma de una función racional es una expresión racional del tipo:  `f(x)={p(x)}/{q(x)}`  siendo  `p(x)`  y  `q(x)`  dos polinomios tales que  `q(x)`  es de grado mayor o igual que 1 y  `q(x)!=0`.

Ejemplo de función racional:  `f:RR-{-2,2} -> RR // f(x)={x^3 -2x^2+7}/{x^2-4}`

Casos particulares de funciones racionales:
  1. Cuando el numerador y el denominador tienen raíces comunes, pueden factorizarse y simplificarse, obteniendo una expresión más sencilla. Sin embargo, el dominio de la función sigue siendo el de la función dada.
    por ejemplo:  `f: RR - {3} -> RR // f(x)={x^2-9}/{x-3}={(x+3)(x-3)}/{(x-3)}=x+3`. Esta función tiene por gráfica una recta excluido el punto  `(3,6)`

  2. FUNCIÓN HOMOGRÁFICA: es un tipo de función racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de primer grado.
  • Su expresión analítica es:  `f(x)=(ax+b)/(cx+d)`  o realizando la división euclídea  `f(x)=k/(x+m)+n`  (forma canónica).
    cuando  `AA  a,b,c,d  in RR`  y  además  `c!=0` (sino sería una función afín)  y  `ad!=bc`  (sino se trataría de una función constante).
  • Gráfica: su representación gráfica, en un sistema de coordenadas rectangulares, es una curva llamada hipérbola, compuesta de dos ramas simétricas respecto del punto de intersección de las dos asíntotas.
  • Las dos ramas de la hipérbola se sitúan en el primer y tercer cuadrante de las asíntotas si  `k>0`; o en el segundo y cuarto cuadrante, si  `k<0`.
  • Asíntota Vertical: en general, diremos que la recta de ecuación  `x=-d/c`  es una asíntota vertical de  `f`  cuando al tomar valores de  `x`  cada vez más cercanos a  `-d/c`, tanto por la derecha como por la izquierda, los valores de la función son cada vez mayores (en valor absoluto).
  • Asíntota Horizontal: en general, diremos que la recta de ecuación  `y=a/c`  es una asíntota horizontal de  `f`  cuando al tomar valores de  `x`  cada vez mayores/pequeños  `(+- oo)`  el valor de la función se acerca a  `a/c`, tanto por arriba como por abajo.
  • Dominio y rango:  `Dom f = RR - {AV}`  ;  `Im f = RR - {AH}`
  • Puntos de corte con los ejes:  eje-X:  `f(x)=0`  ;  eje-Y:  `f(0)`
  • Simetría:  respecto del centro de la Hipérbola (intersección de las asíntotas)
  • Monotonía:  siempre Creciente o decreciente por intervalos
  • Discontinuidad:  en  `x=-d/c`
  • Signo:  positiva en  `f(x)>0`  ;  negativa en `f(x)<0`

 

En la siguiente construcción, realizada con geogebra, podemos:

  • Variar los valores de  `k` , `m`,  y `n`
  • Mostrar la tabla de valores, comenzando por  `x_1`
  • Mostrar puntos simétricos de `P`  ,  `Q`  y  `B`  (éste puede moverse)
  • Mostrar las coordenadas de los puntos sobre la gráfica
  • Localizar los puntos de corte con los ejes
  • El centro de simetría O
  • Visualizar los intervalos donde  `f`  es creciente o decreciente
  • Modificar el intervalo de definición moviendo las flechas naranjas

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