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G · Transformaciones de Funciones [Construcción]

Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una determinada función podemos obtener las gráficas de otras funciones relacionadas, reduciendo de este modo el trabajo de graficar.

TRASLACIONES.- Al sumar la función constante `g(x)=k, con  k>0` a una función dada, f, empleando la suma gráfica, nos damos cuenta que la gráfica de `y=f(x)+k` es tan solo la de `y=f(x)` desplazada hacia arriba, una distancia de k-unidades. De igual modo, si `g(x)=f(x-k), con  k>0`, el valor de g para x es igual al valor de f para `x-k` (k-unidades hacia la izquierda de x); por consiguiente, la gráfica de `y=f(x-k)` es tan solo la de `y=f(x)` desplazada k-unidades hacia la derecha.

 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES

`Si  k>0`, para obtener la gráfica de

  • `y=f(x)+k`, la gráfica de  `y=f(x)` se desplaza k-unidades hacia arriba
  • `y=f(x)-k`, la gráfica de  `y=f(x)` se mueve k-unidades hacia abajo
  • `y=f(x-k)`, la gráfica de  `y=f(x)` se corre k-unidades hacia la derecha
  • `y=f(x+k)`, la gráfica de  `y=f(x)` se desplaza k-unidades hacia izquierda

En la siguiente construcción realizada con geogebra podemos variar el valor de k moviendo su deslizador. También se puede cambiar de función introduciendo una nueva en la casilla etiquetada como "Función".

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ESTIRAMIENTO Y REFLEXIÓN.- Al multiplicar la función dada , f, por la función constante `g(x)=k, con  k>1`  resulta que la gráfica de `y=k·f(x)` es tan solo la de `y=f(x)` estirada k-veces en dirección vertical. La gráfica de `y=-f(x)`  es la de `y=f(x)` reflejada en el eje X, porque el punto `(x,y)`  sustituye al punto  `(x,-y)`. De esta misma manera para otros tipos de estiramientos, compresión y reflexión, como podemos comprobar en la construcción que sigue.

 ESTIRAMIENTO Y REFLEXIÓN HORIZONTALES Y VERTICALES

Suponemos que  `k>1`, para obtener la gráfica de

  • `y=k·f(x)`, la gráfica de  `y=f(x)` se estira k-veces en dirección vertical
  • `y=1/k·f(x)`, la gráfica de  `y=f(x)` se comprime k-veces en dirección vertical
  • `y=f(k·x)`, la gráfica de  `y=f(x)` se comprime k-veces en dirección horizontal
  • `y=f(x/k)`, la gráfica de  `y=f(x)` se estira k-veces en dirección horizontal
  • `y=-f(x)`, la gráfica de  `y=f(x)` se refleja respecto del eje X
  • `y=f(-x)`, la gráfica de  `y=f(x)` se refleja respecto del eje Y

En la siguiente construcción realizada con geogebra podemos variar el valor de k moviendo su deslizador. También se puede cambiar de función introduciendo una nueva en la casilla etiquetada como "Función".

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