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A · Números complejos

Conjuntos de números: `NN sub ZZ sub QQ sub RR sub CC`

Densidad de `QQ` en `RR`: dados `a,b in RR, a<b,` existe `q in QQ // a<q<b`

El conjunto de los números complejos

Definición: el conjunto de los números complejos lo representamos con el símbolo `CC`

`CC={a+bi:a in RR, b in RR}` donde `i=sqrt{-1}` es la unidad imaginaria.

En `CC` podemos realizar las siguientes operaciones:

  • Sumar dos números complejos: `(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i`
  • Multiplicar dos números complejos: `(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i`

Podemos representar un número complejo de distintas formas: ` a+bi-=(a,b)-=|z|_theta`

El módulo de un número complejo `z` es: `|z|=sqrt{a^2+b^2}`, que coincide con la distancia al origen del punto de coordenadas `(a,b)`

El argumento de un número complejo se simboliza con la letra griega `theta  ` y, además `theta in [0,2pi)`

Propiedades:

  • Sea `a in RR`; entonces `a=a+0i in CC`. Luego, se puede considerar que `RR sub CC`
  • Todo polinomio `p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, con  a_i in CC` tiene `n` raíces en `CC` (Teorema fundamental del álgebra)
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